Integral von \( \csc^3(x) \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \csc^3(x) \, dx \]

Schreiben Sie den Integranden \( \csc^3(x) \) als Produkt \( \csc x \csc^2 x \) um:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = \int \csc x \csc^2 x \, dx \]

Verwenden Sie die partielle Integration, gegeben durch: \( \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \).

Sei \( u' = \csc^2 x \) und \( v = \csc x \), was \( u = -\cot x \) und \( v' = -\csc x \cot x \) liefert.

Das Einsetzen in die Formel für die partielle Integration ergibt:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = (-\cot x)(\csc x) - \int (-\cot x)(-\csc x \cot x) \, dx \]

Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \cot^2 x \csc x \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \), um das Integral umzuformen:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int (\csc^2 x - 1) \csc x \, dx \]

Entwickeln Sie den Integranden:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \int \csc x \, dx \]

Verwenden Sie das Standard-integral \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| \) und setzen Sie es in den Ausdruck ein:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \ln|\csc x - \cot x| \]

Addieren Sie \( \displaystyle \int \csc^3 x \, dx \) auf beiden Seiten und vereinfachen Sie:

\[ 2 \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x + \ln|\csc x - \cot x| \]

Durch Multiplikation aller Terme mit \( \dfrac{1}{2} \) und Addition der Integrationskonstante \( c \) erhalten wir das Endergebnis: