Berechnen Sie das Integral
\[ \int \csc^3(x) \; dx \]
Schreiben Sie den Integranden \( \csc^3(x) \) als Produkt \( \csc x \csc^2 x \)
\[ \int \csc^3(x) \; dx = \int \csc x \csc^2 x \; dx \]
Verwenden Sie die partielle Integration gegeben durch: \( \int u' v \; dx = u v - \int u v' \; dx \).
Setzen Sie \( u' = \csc^2 x \), \( v = \csc x \) und daher \( u = - \cot x \), \( v' = -\csc x \cot x \)
und das Integral kann geschrieben werden als
\[ \int \csc^3(x) \; dx = (-\cot x)(\csc x) - \int ((- \cot x)(-\csc x \cot x)) \; dx\]
Vereinfachen Sie den obigen Ausdruck
\[ \int \csc^3(x) \; dx = - \cot x \csc x - \int \cot^2 x \csc x \; dx\]
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \) und schreiben Sie das Integral wie folgt
\[ \int \csc^3(x) \; dx = - \cot x \csc x - \int (\csc^2 x - 1) \csc x \; dx\]
Erweitern Sie den Integranden des Integrals \( \displaystyle \int (\csc^2 x - 1) \csc x \; dx \)
\[ \int \csc^3(x) \; dx = - \cot x \csc x - \int \csc^3 x \; dx + \int \csc x \; dx\]
Verwenden Sie das bekannte Integral \( \displaystyle \int \csc x \; dx = \ln|\csc x - \cot x| \) und schreiben Sie das Integral um als
\[ \int \csc^3(x) \; dx = - \cot x \csc x - \int \csc^3 x \; dx + \ln|\csc x - \cot x| \]
Addieren Sie \( \displaystyle \int \csc^3 x \; dx \) zu beiden Seiten der obigen Gleichung und vereinfachen Sie, um zu erhalten
\[ 2 \int \csc^3(x) \; dx = - \cot x \csc x + \ln|\csc x - \cot x| \]
Multiplizieren Sie alle Terme mit \( \dfrac{1}{2} \) und vereinfachen Sie, um die endgültige Antwort zu erhalten
\[ \boxed { \int \csc^3(x) \; dx = - \dfrac{1}{2} \cot x \csc x + \dfrac{1}{2} \ln|\csc x - \cot x| + c }\]